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Exercices sur le théorême de Thalès - Correction
Exercice I
1. On sait que AB = 1 m = 100 cm et que IB = 24 cm
Donc AI = AB - IB
AI = 100 - 24 = 76 cm
2. On sait que (IJ) et (BD) sont parallèles. On sait que (IB) et (JD) sont sécantes en A. On sait que A, I, B et A, J, D sont alignés dans cet ordre.
Donc d'après le théorême de Thalès:
AI/AB = AJ/AD = IJ/BD
On connait les mesures de AI, AB et AD (= 40 cm car ABCD est un rectangle donc AD=BC), et on cherche AJ.
76/100 = AJ/40
AJ = 76x40 / 100 = 30,4 cm
3. On sait que ABD est un triangle rectangle en A car ABCD est un rectangle.
Donc d'après le théorême de Pythagore:
BD2 = AD2 + AB2
BD2 = 402 + 1002
BD2 = 1600 + 10 000 = 11600
BD = √11600 ≈ 107,7 cm
4. L'aire A1 du rectangle ABCD:
A1 = Longueur x largeur = 100 x 40 = 4000 cm2
L'aire A2 du triangle AIJ:
A2 = base x hauteur /2 = 76 x 30,4 / 2 = 1155,2 cm2
L'aire A3 du triangle BCD:
A3 = base x hauteur /2 = 40 x 100 / 2 = 2000 cm2
L'aire A4 de la bande:
A4 = A1 -A2 -A3 = 4000 - 1155,2 - 2000 = 844,8 cm2
Exercice II
1. On sait que le triangle ABC est inscrit dans un demi-cercle C1 de diamètre [AC], donc il est rectangle en D.
De même, le triangle CDE est inscrit dans un demi-cercle C2 de diamètre [CE], donc il est rectangle en B.
2. (AB) et (BC) sont perpendiculaires. (CD) et (DE) sont perpendiculaires.
On sait que B, C, D sont trois points alignés, donc (AB) et (BD) sont perpendiculaires, et (ED) et (BD) sont perpendiculaires.
Or deux droites perpendiculaires à une même troisième droite sont parallèles entre elles.
Donc (AB) et (ED) sont parallèles.
3. On sait que (AB) et (ED) sont parallèles. On sait que (BD) et (AE) se coupent en C.
D'après le théorême de Thalès:
CE/CA = CD/CB = ED/AB
On sait que CE = 2, que CA = 3, que CB = 2,4, on cherche CD:
2/3 = CD/2,4
CD = 2 x 2,4 / 3 = 1,6 cm
Par le théorême de Pythagore: AC2 = AB2 + BC2
AB2 = AC2 - BC2
AB2 = 32 - 2,42
AB2 = 9 - 5,76 = 3,24
AB = √3,24 = 1,8 cm
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