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Le théorême de Pythagore
I. Idées générales
Pythagore est un mathématicien et scientifique qui vécut au VIè siècle av.JC. Il a établi l'un des théorêmes les plus célèbres en géométrie.
II. Enoncé du théorême de Pythagore
Tout d'abord, un peu de vocabulaire:
.: Un triangle rectangle a un angle droit.
.: L'hypoténuse est le côté qui a la plus grande longueur dans un triangle rectangle. Il est le côté opposé à l'angle droit.
.: Le carré d'un nombre, c'est ce nombre multiplié par lui-même (32 = 3 x 3 = 9).
Théorême de Pythagore:
Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme du carré des longueurs des deux autres côtés.
Et réciproquement:
Si le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme du carré des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle.
Application:
On considère un triangle XYZ, rectangle en Y.
Donc l'hypoténuse est XZ.
On applique le théorême: XZ2 = XY2 + YZ2
III. Le théorême pour savoir si un triangle est rectangle
1:.
Si l'égalité de Pythagore se vérifie avec les mesures des côtés de notre triangle, alors ce triangle est rectangle.
On considère un triangle XYZ.
Le côté le plus grand est XZ.
On applique le théorême: XZ2 = XY2 + YZ2
52 = 32 + 42
5x5 = 3x3 + 4x4
25 = 9 + 16 = 25
Le triangle XYZ est donc rectangle en Y.
2:.
Si l'égalité de Pythagore ne se vérifie pas avec les mesures des côtés de notre triangle, alors ce triangle n'est pas rectangle.
On considère un triangle NPO.
Le côté le plus grand est PO.
On applique le théorême: PO2 = PN2 + NO2
62 = 22 + 42
6x6 = 2x2 + 4x4
36 = 4 + 16 = 20
Le triangle XYZ n'est donc pas rectangle en Y.
IV. Le théorême pour trouver la mesure d'un côté d'un triangle rectangle
1:.
Si on ne connaît pas la mesure de l'hypoténuse, mais qu'on connaît celles des 2 autres côtés.
On considère un triangle XYZ.
Le côté le plus grand est XZ.
On applique le théorême: XZ2 = XY2 + YZ2
XZ2 = 32 + 42
XZ2 = 3x3 + 4x4
XZ2 = 9 + 16
XZ2 = 25
On calcule alors la racine carrée de 25.
XZ = √25 = 5
Le côté XZ du triangle mesure 5 cm.
2:.
Si on connaît la mesure de l'hypoténuse et d'un autre côté du triangle, mais qu'on ne connaît pas celle du 3ème côté.
On considère un triangle XYZ.
Le côté le plus grand est XZ.
On applique le théorême: XZ2 = XY2 + YZ2
52 = XY2 + 42
5x5 = XY2 + 4x4
25 = XY2 + 16
XY2 = 25 - 16
XY2 = 9
On calcule alors la racine carrée de 9.
XY = √9 = 3
Le côté XY du triangle mesure 3 cm.
V. Algorithme Python
Il permet de déterminer si un triangle est rectangle ou non, ou de mesurer la longueur d'un troisième côté.
Une application en ligne pour tester des codes Python
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